1. Números Racionales

1. Números racionales

Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por .

 
 

Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto) son números racionales; pero los otros números decimales ilimitados no.
La suma, la diferencia, el producto y el cociente de dos números racionales es otro número racional.
Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número entero.
La raíz de un número racional no siempre es un número racional, sólo ocurre cuando la raíz es exacta y si el índice es par el radicando ha de ser positivo.

Representación de números racionales

Los números racionales se representan en la recta junto a los números enteros.

Los números racionales se representan en la recta junto a los números enteros.

1 Tomamos un segmento de longitud la unidad, por ejemplo.

2 Trazamos un segmento auxiliar desde el origen y lo dividimos en las partes que deseemos. En nuestro ejemplo, lo dividimos en 4 partes.

3 Unimos el último punto del segmento auxiliar con el extremo del otro segmento y trazamos segmentos paralelos en cada uno de los puntos, obtenidos en la partición del segmento auxiliar.

 

2. Los números irracionales

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.
El número irracional más conocido es , que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
= 3.141592653589...
Otros números irracionales son:
El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.
e = 2.718281828459...
El número áureo, , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.

3. Simplificación de fracciones

Simplificar una fracción es transformarla en una fracción equivalente más simple.

Para simplificar una fracción dividimos numerador y denominador por un mismo número.

Empezaremos a simplificar probando por los primeros números primos: 2, 3, 5, 7, ... Es decir, probamos a dividir numerador y denominador entre 2 mientras se pueda, después pasamos al 3 y así sucesivamente.

Se repite el proceso hasta que no haya más divisores comunes.

Si los términos de la fracción terminan en ceros, empezaremos quitando los ceros comunes finales del numerador y denominador.

Si el número por el que dividimos es el máximo común denominador del numerador y denominador llegamos a una fracción irreducible.

m.c.d.(8, 36) = 4

4. Mínimo común denominador

El mínimo común denominador es el menor de todos los múltiplos comunes de los denominadores.

Cálculo del mínimo común múltiplo

1. Se descomponen los números en factores primos.
2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.

Ejemplos:
Hallar el m.c.m. de 72, 108 y 60:

72 = 2³ · 3²

108 = 2² · 3³

60 = 2² · 3 · 5

Solución:

m.c.m. (72, 108, 60) = 2³ · 3³ · 5= 1080

1 080 es el menor múltiplo común a 72, 108 y 60.

1 080 es el menor número que puede ser dividido por 72, 108 y 60.

5. Redondear números mixtos

Para redondear un número mixto al número entero más cercano, busque en la parte fraccionaria. Si la fracción es menor que 1/2, redondear hacia abajo. Si la fracción es mayor que o igual a 1/2, redondea hacia arriba.

Ejemplo. Redondea a la unidad:

a) 5  3/8

  como 3/8 es menor que 1/2, redondeamos hacia abajo, es decir quedan 5 unidades.

Para redondear un número encontrar el lugar al que desea redondear. Busque un lugar a la derecha. Si el dígito es menor que 5, redondear hacia abajo. Si el dígito es 5 o más, redondee hacia arriba.

6. Convertir entre decimales y fracciones

Para convertir una fracción en decimal, escribe la fracción como un número decimal con tantos decimales como indique la potencia de diez del denominador.

Ejemplo.

3

10

               = 0.3

Para convertir un decimal en fracción, escribe como fracción en forma reducida.

Ejemplo. 

Escribe el decimal como una fracción con 100 como denominador. Reduzca la fracción a su mínima expresión.

0.25	=	25 100
	=	25 ÷ 25 100 ÷ 25
	=	1 4

7. Comparar números racionales

Use un común denominador, por ejemplo

-7 10		-1 2
		↓
-7 10		-5 10

Recordar que cuando comparamos numeros negativos, los mayores, si ignoras el signo, son menores cuando ambos son negativos.
    
     Por lo tanto:

-7 10

<

-1 2

 

Numeros Enteros

0. LOS NÚMEROS ENTEROS 

Propósito: Simplificar expresiones que contienen números enteros, aplicando las propiedades de dicho conjunto.

Profesión: Físico Nuclear.
Los antiguos griegos definieron al átomo como la partícula más pequeña de materia. Ahora sabemos que los átomos se componen de muchas partículas aún más pequeñas.

Los físicos nucleares estudian esas partículas con gigantescas máquinas como aceleradores lineales, sincrotones y ciclotrones, que deshacen los átomos para descubrir sus componentes.

Los físicos nucleares aplican las matemáticas a los datos que obtienen para crear modelos del átomo y de la estructura de la materia.

NÚMEROS ENTEROS

Katrina mantiene un diario de salud. Sabe que al comer suma calorías y al hacer ejercicio las resta, así que usa enteros para determinar su total diario.
El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.

Valor absoluto de un número entero. El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.

Orden en los números enteros

Los números enteros están ordenados. De dos números representados gráficamente, es mayor el que está situado más a la derecha, y menor el situado más a la izquierda.

Ejemplo:

     1)      5 > 3,  5 es mayor que 3.   

     2)      −10 < −7, −10 es menor que −7.

Criterios para ordenar los números enteros

1. Todo número negativo es menor que cero.   −7 < 0

2. Todo número positivo es mayor que cero. 7 > 0

3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.

−7 > −10

|−7| < |−10|

4. De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

10 > 7

|10| > |7

Suma de números enteros

Ejemplo 1. Usar una recta numérica para sumar enteros.

_______________________________________
Regla:
1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.

2. Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.

Ejemplo 2. Sumar

−3 + 5 = 2

3 + (−5) = −2

Ejemplo 3. Evaluar expresiones con enteros.
Evalúa b+12 con b=-5
b+12
(-5)+12

7

Ejemplo 4. Aplicación a la salud.
Katrina quiere verificar su cuenta de calorías después de desayunar y hacer ejercicio. Usa la información de su diario para hallar el total.

Lunes en la mañana Calorías Avena                                     145 Tostada con jalea                  62 8 oz líq de jugo                      111 Calorías quemadas Caminar 6 vueltas               110 Nadar 6 vueltas                    40

145 + 62 +11 + (-110)+ (-40)   

             Usa el signo + para las calorías que se ingieren y el signo - para las que se queman.

(145 + 62 +11)+ (-110+ -40)   

             Agrupa enteros del mismo signo.

318 + (-150)  

             Suma los enteros de cada grupo.

168

             318  es mayor que 150; usa el signo de 318.

La cuenta de calorías de Katrina después de desayunar y hacer ejercicio es de 168 calorías.

Diferencia de números enteros

La resta de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

a − b = a + (−b)

Multiplicación de números enteros

La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla: en la multiplicación de dos cantidades

·         Signos iguales producen positivo y 

• Signos diferentes producen negativo

Propiedade distributiva:

a· (b+c)=a·b+a·c

O también  (m+n) ·p=m·n+m·p

Extraer factor común

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a · b + a · c = a · (b + c)

Ejemplo: (−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)

División de números enteros

La división de dos números enteros es igual al valor absoluto del cociente de los valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos de la multiplicación.

Potencia de números enteros

La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:

(+)^par = +

(+)^impar = +

(−)^par = +

(−)^impar = −

Propiedades de las potencias de números enteros

1. La potencia de 0 es igual a 1.

a⁰ = 1

2. La potencia de 1 es igual a ese mismo número         

a¹ = a

3. Producto de potencias con la misma base. Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

a^m · aⁿ = a^{m + n}

Ejemplo:

(−2)⁵ · (−2)² = (−2)^{5 + 2} = (−2)⁷ = −128

4. División de potencias con la misma base.Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

a^m : aⁿ = a^{m − n}

Ejemplo:

(−2)⁵ : (−2)² = (−2)^{5 − 2} = (−2)³ = −8

5. Potencia de una potencia.Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

(a^m)ⁿ = a^{m · n}

Ejemplo:

[(−2)³]² = (−2)⁶ = 64

6. Producto de potencias con el mismo exponente. Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.

aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ

Ejemplo:(−2)³ · (3)³ = (−6)³ = −216

7. Cociente de potencias con el mismo exponente. Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ

Ejemplo: (−6)³ : 3³ = (−2)³ = −8

8. Potencias de exponente entero negativo. La potencia de exponente negativo es la inversa de la potencia con el mismo exponente, pero positivo.

Raíz cuadrada

La raíz cuadrada es la operación inversa a elevar al cuadrado.

Raíz cuadrada exacta. La raíz cuadrada es exacta, siempre que el radicando sea un cuadrado perfecto.

Raíz cuadrada entera. La raíz cuadrada es entera siempre que el radicando no es un cuadrado perfecto.                       Resto = Radicando − Raíz²

Jerarquía de las operaciones

Paréntesis

Exponentes

Multiplicación

División

Adición (Suma)

Sustracción (Resta)